Qual é o valor da integral \( \int_1^3 (x^2 + 4) \, dx \)? a) 6 b) 8 c) 10

Para calcular a integral definida \( \int_1^3 (x^2 + 4) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( x^2 + 4 \). A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \) e a antiderivada de \( 4 \) é \( 4x \). Portanto, a antiderivada de \( x^2 + 4 \) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 4x \] Agora, vamos calcular \( F(3) \) e \( F(1) \): 1. \( F(3) = \frac{3^3}{3} + 4 \cdot 3 = \frac{27}{3} + 12 = 9 + 12 = 21 \) 2. \( F(1) = \frac{1^3}{3} + 4 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 4 = \frac{1}{3} + \frac{12}{3} = \frac{13}{3} \) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^3 (x^2 + 4) \, dx = F(3) - F(1) = 21 - \frac{13}{3} \] Para subtrair, vamos expressar 21 como uma fração com denominador 3: \[ 21 = \frac{63}{3} \] Então, temos: \[ \int_1^3 (x^2 + 4) \, dx = \frac{63}{3} - \frac{13}{3} = \frac{63 - 13}{3} = \frac{50}{3} \] Como \( \frac{50}{3} \) não está entre as opções, vamos verificar se há um erro nas opções ou se a pergunta foi mal interpretada. Nenhuma das alternativas (a) 6, (b) 8, (c) 10 é correta. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.