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Problema 23: Calcule a integral: \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx.

a) \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C
b) \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C
c) \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C
d) \frac{1}{2} \tan^{-1}(2x) + C
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há 2 anos

Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos fazer uma substituição. Note que \(4\) pode ser escrito como \(2^2\), então podemos reescrever a integral como: \[ \int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx \] A integral da forma \(\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx\) é conhecida e resulta em: \[ \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \] Neste caso, \(a = 2\). Portanto, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Analisando as alternativas, a correta é: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\)

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b) \( 1 \)
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Problema 26: Qual é a derivada de f(x) = e^{2x}?

a) 2e^{2x}
b) e^{2x}
c) e^x
d) 2e^x

Problema 27: Calcule a integral: \int (3x^2 + 2) \, dx.

a) x^3 + 2x + C
b) 3x^3 + 2x + C
c) x^3 + x + C
d) x^3 + 2x^2 + C

28. **Problema 28:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\).

A) 2
B) 0
C) 1
D) Não existe

Problema 29: Calcule a integral: \int_1^2 (x^2 - 1) \, dx.

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b) \frac{4}{3}
c) \frac{7}{3}
d) \frac{8}{3}

Problema 30: Qual é a derivada de f(x) = \sqrt{x}?

a) \frac{1}{2\sqrt{x}}
b) \frac{1}{\sqrt{x}}
c) \frac{1}{x}
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