Problema 24: Determine a integral: \int_0^1 x^3 \ln(x) \, dx. a) -\frac{1}{16} b) -\frac{1}{8} c) -\frac{1}{4} d) -\frac{1}{2}

Para resolver a integral \(\int_0^1 x^3 \ln(x) \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} dx\) - \(dv = x^3 dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^4}{4}\) Agora, aplicando a fórmula de integração por partes \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\): \[ \int x^3 \ln(x) \, dx = \frac{x^4}{4} \ln(x) - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Simplificando a integral: \[ = \frac{x^4}{4} \ln(x) - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx \] Calculando a integral \(\int x^3 \, dx\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] Substituindo de volta: \[ = \frac{x^4}{4} \ln(x) - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{4} \ln(x) - \frac{x^4}{16} \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{x^4}{4} \ln(x) - \frac{x^4}{16} \right]_0^1 \] Quando \(x = 1\): \[ \frac{1^4}{4} \ln(1) - \frac{1^4}{16} = 0 - \frac{1}{16} = -\frac{1}{16} \] Quando \(x = 0\), a parte \(\frac{x^4}{4} \ln(x)\) tende a \(0\) (usando limite) e a parte \(-\frac{x^4}{16}\) também tende a \(0\). Portanto, a integral total é: \[ -\frac{1}{16} - 0 = -\frac{1}{16} \] Assim, a resposta correta é a) \(-\frac{1}{16}\).