Qual é o valor de \( \int_0^1 (1 - x^3) \sqrt{x} \, dx \)? A) \( \frac{2}{5} \) B) \( \frac{1}{5} \) C) \( \frac{1}{4} \) D) \( \frac{1}{3} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 - x^3) \sqrt{x} \, dx \), vamos separá-la em duas partes: 1. \( \int_0^1 \sqrt{x} \, dx \) 2. \( -\int_0^1 x^3 \sqrt{x} \, dx \) Primeiro, calculamos a primeira parte: \[ \int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \int_0^1 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} \] Agora, a segunda parte: \[ -\int_0^1 x^3 \sqrt{x} \, dx = -\int_0^1 x^{3 + 1/2} \, dx = -\int_0^1 x^{7/2} \, dx = -\left[ \frac{x^{9/2}}{9/2} \right]_0^1 = -\frac{2}{9} \] Agora, somamos as duas partes: \[ \int_0^1 (1 - x^3) \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} - \frac{2}{9} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3 e 9 é 9: \[ \frac{2}{3} = \frac{6}{9} \] Portanto: \[ \frac{2}{3} - \frac{2}{9} = \frac{6}{9} - \frac{2}{9} = \frac{4}{9} \] Assim, o valor da integral \( \int_0^1 (1 - x^3) \sqrt{x} \, dx \) é \( \frac{4}{9} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a \( \frac{4}{9} \). Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.