Qual é o valor de \( \tan(75^ extcirc) \)? a) \( 2 + \sqrt{3} \) b) \( 2 - \sqrt{3} \) c) \( \sqrt{3} + 2 \) d) \( \sqrt{3} - 2 \)

Para calcular \( \tan(75^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Podemos escrever \( 75^\circ \) como \( 45^\circ + 30^\circ \). Assim, temos: - \( \tan(45^\circ) = 1 \) - \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Substituindo na fórmula: \[ \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Simplificando: \[ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] Multiplicando o numerador e o denominador por \( \sqrt{3} + 1 \): \[ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \] Portanto, o valor de \( \tan(75^\circ) \) é \( 2 + \sqrt{3} \). A alternativa correta é: a) \( 2 + \sqrt{3} \).