Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e determine sua área. ???? = ????², ???? = 4 − ????².

Para esboçar a região delimitada pelas curvas \(y = x^2\) e \(y = 4 - x^2\), siga os passos abaixo: 1. Identifique os pontos de interseção: Igualando as duas equações: \[ x^2 = 4 - x^2 \] \[ 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \] Os pontos de interseção são \((\sqrt{2}, 2)\) e \((- \sqrt{2}, 2)\). 2. Esboce as curvas: - A parábola \(y = x^2\) abre para cima. - A parábola \(y = 4 - x^2\) abre para baixo e tem vértice em \((0, 4)\). 3. Determine a região: A região delimitada está entre as duas curvas, entre os pontos de interseção. 4. Calcule a área: A área \(A\) entre as curvas é dada por: \[ A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} ((4 - x^2) - x^2) \, dx \] \[ A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx \] Agora, calcule a integral: \[ A = \left[ 4x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \] \[ A = \left( 4\sqrt{2} - \frac{2}{3}(\sqrt{2})^3 \right) - \left( 4(-\sqrt{2}) - \frac{2}{3}(-\sqrt{2})^3 \right) \] \[ A = \left( 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) - \left( -4\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \] \[ A = 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \] \[ A = 8\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{24\sqrt{2}}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3} \] Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é \(\frac{16\sqrt{2}}{3}\).