Determinar m ∈ ℝ para que (2 + 3i)/(2 + mi) seja um imaginário puro: a) 2m = 5 b) 4m = 3 c) m = 1 d) 3m = 4

Para que a fração \((2 + 3i)/(2 + mi)\) seja um número imaginário puro, a parte real da fração deve ser igual a zero. Vamos calcular a fração: \[ \frac{2 + 3i}{2 + mi} \cdot \frac{2 - mi}{2 - mi} = \frac{(2 + 3i)(2 - mi)}{(2 + mi)(2 - mi)} \] O denominador é: \[ (2 + mi)(2 - mi) = 4 + m^2 \] O numerador é: \[ (2 + 3i)(2 - mi) = 4 - 2mi + 6i - 3m = (4 - 3m) + (6 - 2m)i \] Assim, a fração se torna: \[ \frac{(4 - 3m) + (6 - 2m)i}{4 + m^2} \] Para que essa fração seja um número imaginário puro, a parte real deve ser zero: \[ 4 - 3m = 0 \implies 3m = 4 \implies m = \frac{4}{3} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(2m = 5\) → \(m = \frac{5}{2}\) (não é a resposta correta) b) \(4m = 3\) → \(m = \frac{3}{4}\) (não é a resposta correta) c) \(m = 1\) (não é a resposta correta) d) \(3m = 4\) → \(m = \frac{4}{3}\) (esta é a resposta correta) Portanto, a alternativa correta é: d) 3m = 4.