Problema 25: Calcule a integral \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx. a) \frac{5}{4} b) \frac{7}{4} c) \frac{3}{4} d) \frac{9}{4}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A integral de \(3x^2\) é \(\frac{3}{3}x^3 = x^3\). 3. A integral de \(1\) é \(x\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + x^3 + x \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[\frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 + (1)\right] - \left[\frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3 + (0)\right] \] Calculando: \[ \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \] Portanto, a integral é: \[ \frac{5}{2} - 0 = \frac{5}{2} \] No entanto, parece que houve um erro na avaliação. Vamos corrigir isso: \[ \left[\frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 + (1)\right] = \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \] Agora, vamos verificar as opções: a) \(\frac{5}{4}\) b) \(\frac{7}{4}\) c) \(\frac{3}{4}\) d) \(\frac{9}{4}\) Nenhuma das opções corresponde ao resultado correto de \(\frac{5}{2}\). Parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na interpretação da integral. Você pode verificar se a integral ou as opções estão corretas?