Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^4 - x^2) \, dx \). a) \( \frac{1}{5} \) b) \( \frac{1}{6} \) c) \( \frac{1}{7} \) d) \( \frac{1}{8} \)

Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} (x^4 - x^2) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Calcular a integral de \( x^4 \): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] 2. Calcular a integral de \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Agora, substituímos os limites de integração de 0 a 1: \[ \int_{0}^{1} (x^4 - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] Calculando no limite superior (1): \[ \left( \frac{1^5}{5} - \frac{1^3}{3} \right) = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right) \] Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum, que é 15: \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \quad \text{e} \quad \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \] Portanto: \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{3}{15} - \frac{5}{15} = \frac{-2}{15} \] Agora, calculando no limite inferior (0): \[ \left( \frac{0^5}{5} - \frac{0^3}{3} \right) = 0 \] Assim, a integral total é: \[ \int_{0}^{1} (x^4 - x^2) \, dx = \frac{-2}{15} - 0 = \frac{-2}{15} \] No entanto, como a pergunta pede o valor da integral, e considerando que a integral de \( x^4 - x^2 \) é negativa, precisamos verificar as opções dadas. Nenhuma das opções corresponde ao resultado negativo, mas se considerarmos o valor absoluto, não há uma opção correta. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode querer revisar a pergunta ou as opções.