Qual é o valor de z que satisfaz z^3 - 27 = 0? a) 3 b) -3 c) 3 cis 2π/3 d) 3 cis 4π/3

Para resolver a equação \( z^3 - 27 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = 27 \). Sabemos que \( 27 = 3^3 \), então uma solução é \( z = 3 \). No entanto, como estamos lidando com uma equação cúbica, também precisamos considerar as raízes complexas. As raízes de \( z^3 = 27 \) podem ser encontradas usando a forma polar. A forma polar de \( 27 \) é \( 27 \text{ cis } 0 \) (onde "cis" representa \( \cos + i \sin \)). As raízes cúbicas são dadas por: \[ z_k = 3 \text{ cis } \left( \frac{0 + 2k\pi}{3} \right) \quad \text{para } k = 0, 1, 2 \] Calculando para \( k = 0, 1, 2 \): - Para \( k = 0 \): \( z_0 = 3 \text{ cis } 0 \) (que é \( 3 \)) - Para \( k = 1 \): \( z_1 = 3 \text{ cis } \frac{2\pi}{3} \) - Para \( k = 2 \): \( z_2 = 3 \text{ cis } \frac{4\pi}{3} \) Assim, as soluções são \( 3 \), \( 3 \text{ cis } \frac{2\pi}{3} \) e \( 3 \text{ cis } \frac{4\pi}{3} \). Portanto, as alternativas corretas são: a) 3 c) 3 cis \( \frac{2\pi}{3} \) d) 3 cis \( \frac{4\pi}{3} \) Se a pergunta pede apenas um valor, a resposta mais direta é a) 3.