Resolva a equação z^3 = 8 no plano complexo. a) 2, -2 + 2√3i, -2 - 2√3i b) 2, 2√3i, -2√3i c) 2, -1 + √3i, -1 - √3i d) 2, 2 + 2i, 2 - 2i

Para resolver a equação \( z^3 = 8 \) no plano complexo, primeiro podemos reescrever \( 8 \) na forma polar. O número \( 8 \) pode ser expresso como \( 8 = 8(\cos 0 + i \sin 0) \). Agora, aplicamos a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas. As raízes cúbicas de um número complexo na forma \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) são dadas por: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \right) \] onde \( n \) é o índice da raiz (neste caso, 3) e \( k = 0, 1, 2 \). 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \left( \cos(0) + i \sin(0) \right) = 2 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 + \sqrt{3}i \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - \sqrt{3}i \] Assim, as raízes da equação \( z^3 = 8 \) são: - \( z_0 = 2 \) - \( z_1 = -1 + \sqrt{3}i \) - \( z_2 = -1 - \sqrt{3}i \) Agora, analisando as alternativas: a) 2, -2 + 2√3i, -2 - 2√3i b) 2, 2√3i, -2√3i c) 2, -1 + √3i, -1 - √3i d) 2, 2 + 2i, 2 - 2i A alternativa correta é a) c) 2, -1 + √3i, -1 - √3i.