Problema 85: Calcule o limite lim_{x → 0} (ln(1 + x))/x. a) 1

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \(x\) se aproxima de 0. 1. Identifique a forma indeterminada: Quando \(x \to 0\), \(\ln(1 + x) \to \ln(1) = 0\) e \(x \to 0\). Portanto, temos a forma \(\frac{0}{0}\). 2. Aplique a regra de L'Hôpital: Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada do numerador: \(\frac{d}{dx}[\ln(1 + x)] = \frac{1}{1 + x}\) - Derivada do denominador: \(\frac{d}{dx}[x] = 1\) 3. Reescreva o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} \] 4. Calcule o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \] Portanto, o limite é \(1\). A resposta correta é a) 1.