Qual é o valor de z que satisfaz z⁴ + 1 = 0? a) cis (π/4) b) cis (3π/4) c) cis (5π/4) d) cis (7π/4)

Para resolver a equação \( z^4 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -1 \). Sabemos que \( -1 \) pode ser representado na forma polar como \( \text{cis}(\pi) \) ou \( \text{cis}(3\pi) \). As raízes quartas de \( -1 \) podem ser encontradas usando a fórmula: \[ z_k = \sqrt[4]{r} \text{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \] onde \( r = 1 \) (módulo de -1), \( \theta = \pi \) e \( n = 4 \). Assim, temos: \[ z_k = \text{cis} \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) \quad \text{para } k = 0, 1, 2, 3 \] Calculando para cada \( k \): - Para \( k = 0 \): \( z_0 = \text{cis} \left( \frac{\pi}{4} \right) \) - Para \( k = 1 \): \( z_1 = \text{cis} \left( \frac{3\pi}{4} \right) \) - Para \( k = 2 \): \( z_2 = \text{cis} \left( \frac{5\pi}{4} \right) \) - Para \( k = 3 \): \( z_3 = \text{cis} \left( \frac{7\pi}{4} \right) \) Portanto, as soluções são \( \text{cis}(\pi/4) \), \( \text{cis}(3\pi/4) \), \( \text{cis}(5\pi/4) \) e \( \text{cis}(7\pi/4) \). Assim, todas as alternativas apresentadas são soluções, mas se a pergunta pede um valor específico, podemos escolher qualquer uma delas. Se você precisa de uma única resposta, a primeira solução que encontramos é: a) \( \text{cis}(\pi/4) \)