Para resolver a equação \( z^2 + 2z + 2 = 0 \), podemos usar a fórmula de Bhaskara: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = 2 \) e \( c = 2 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \] Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas. Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ z = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i \] Assim, temos as raízes \( z_1 = -1 + i \) e \( z_2 = -1 - i \). Agora, vamos expressar essas raízes na forma polar \( z = re^{i\theta} \). Para encontrar \( r \): \[ r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Para encontrar \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{-1}\right) = \tan^{-1}(-1) \] Isso nos dá um ângulo de \( \frac{3\pi}{4} \) para \( -1 + i \) (no segundo quadrante). Portanto, temos \( r = \sqrt{2} \) e \( \theta = \frac{3\pi}{4} \). Analisando as alternativas: a) r = 1, θ = \( \frac{5\pi}{4} \) b) r = 2, θ = \( \frac{7\pi}{4} \) c) r = 2, θ = \( \frac{3\pi}{4} \) d) r = 1, θ = \( \frac{3\pi}{4} \) Nenhuma das alternativas apresenta \( r = \sqrt{2} \), mas a alternativa que mais se aproxima do ângulo correto é a c) r = 2, θ = \( \frac{3\pi}{4} \), embora o valor de \( r \) esteja incorreto. Portanto, a resposta correta, considerando as opções dadas, é a c) r = 2, θ = \( \frac{3\pi}{4} \).