Problema 52: Determine as raízes da equação z^4 - 16 = 0. a) z = 2, -2, 2i, -2i b) z = 4, -4, 4i, -4i c) z = 0, 1, -1, 2 d) z = 2, -2

Para resolver a equação \( z^4 - 16 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = 16 \). Agora, podemos expressar 16 como \( 16 = 2^4 \). Assim, temos: \[ z^4 = 2^4 \] As raízes da equação \( z^4 = 2^4 \) são dadas por: \[ z = 2 \cdot e^{i \frac{2k\pi}{4}} \quad \text{para } k = 0, 1, 2, 3 \] Calculando as raízes: 1. Para \( k = 0 \): \( z = 2 \) 2. Para \( k = 1 \): \( z = 2i \) 3. Para \( k = 2 \): \( z = -2 \) 4. Para \( k = 3 \): \( z = -2i \) Portanto, as raízes da equação são \( z = 2, -2, 2i, -2i \). Analisando as alternativas: a) z = 2, -2, 2i, -2i (correta) b) z = 4, -4, 4i, -4i (incorreta) c) z = 0, 1, -1, 2 (incorreta) d) z = 2, -2 (incorreta, pois faltam as raízes imaginárias) A alternativa correta é a) z = 2, -2, 2i, -2i.