Problema 46: Resolva a equação z^3 + 1 = 0. a) z = -1 b) z = 1 c) z = -rac{1}{2} + rac{ heta{3}}{2}i d) z = -rac{1}{2} - rac{ heta{3}}{2}i

Para resolver a equação \( z^3 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = -1 \). Os números complexos que satisfazem essa equação são as raízes cúbicas de \(-1\). Podemos expressar \(-1\) na forma polar como \( 1 \cdot (\cos(\pi) + i \sin(\pi)) \). As raízes cúbicas de um número complexo podem ser encontradas usando a fórmula: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r \) é o módulo, \( \theta \) é o argumento, \( n \) é a raiz que estamos buscando (neste caso, 3), e \( k = 0, 1, 2 \). Para \(-1\): - \( r = 1 \) - \( \theta = \pi \) Calculando as raízes: 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 1^{1/3} \left( \cos\left(\frac{\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -1 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 1^{1/3} \left( \cos\left(\frac{\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}\right) \right) = \cos\left(\pi\right) + i \sin\left(\pi\right) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 1^{1/3} \left( \cos\left(\frac{\pi + 2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}\right) \right) = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \] Assim, as raízes são: 1. \( z = -1 \) 2. \( z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 3. \( z = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) Analisando as alternativas: a) \( z = -1 \) - Correto. b) \( z = 1 \) - Incorreto. c) \( z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) - Correto. d) \( z = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) - Correto. Portanto, a resposta correta é a) \( z = -1 \).