Para resolver a equação \( z^3 - 8 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = 8 \). O número 8 pode ser expresso na forma polar como \( 8 = 8e^{i0} \), onde \( r = 8 \) e \( \theta = 0 \). Agora, precisamos encontrar as raízes cúbicas de \( 8 \). A fórmula para encontrar as raízes \( n \)-ésimas de um número complexo é: \[ z_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \] onde \( k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \). Neste caso, temos \( r = 8 \) e \( n = 3 \): 1. \( r^{1/3} = 8^{1/3} = 2 \) 2. Para \( k = 0 \): \[ \theta_0 = \frac{0 + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3} = 0 \] 3. Para \( k = 1 \): \[ \theta_1 = \frac{0 + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] 4. Para \( k = 2 \): \[ \theta_2 = \frac{0 + 2 \cdot 2 \cdot \pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \] Assim, as raízes são: - Para \( k = 0 \): \( z_0 = 2e^{i0} \) - Para \( k = 1 \): \( z_1 = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} \) - Para \( k = 2 \): \( z_2 = 2e^{i\frac{4\pi}{3}} \) Agora, analisando as alternativas: - a) \( r = 2, \theta = \frac{\pi}{3} \) (não é uma raiz) - b) \( r = 2, \theta = \frac{5\pi}{3} \) (não é uma raiz) - c) \( r = 2, \theta = \frac{2\pi}{3} \) (é uma raiz) - d) \( r = 2, \theta = \frac{4\pi}{3} \) (é uma raiz) Portanto, as alternativas corretas são c) e d). Mas como a pergunta pede um valor específico, a primeira raiz que encontramos é a que corresponde a \( k = 0 \), que não está listada. A resposta correta entre as opções dadas é: c) \( r = 2, \theta = \frac{2\pi}{3} \)