Problema 39: Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). a) \( 5 \) b) \( 0 \)

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \), podemos usar a regra do limite fundamental que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1 \). Neste caso, podemos fazer a substituição \( u = 5x \). Assim, quando \( x \to 0 \), \( u \to 0 \) também. Portanto, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} \cdot 5 = 5 \cdot 1 = 5 \] Assim, o valor do limite é \( 5 \). Portanto, a alternativa correta é: a) \( 5 \).