Qual é a raiz quadrada de 16 - 16i? a) 4 + 4i b) 4 - 4i c) ± (2 + 2i) d) ± (4 + 4i)

Para encontrar a raiz quadrada de um número complexo como \( 16 - 16i \), podemos usar a forma polar ou a fórmula de raízes quadradas de números complexos. Primeiro, vamos expressar \( 16 - 16i \) na forma polar. O módulo \( r \) é dado por: \[ r = \sqrt{16^2 + (-16)^2} = \sqrt{256 + 256} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2} \] O argumento \( \theta \) é: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-16}{16}\right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \] Assim, podemos escrever \( 16 - 16i \) na forma polar como: \[ 16 - 16i = 16\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Para encontrar a raiz quadrada, usamos a fórmula: \[ \sqrt{r} \left( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right) \] Calculando: \[ \sqrt{16\sqrt{2}} = 4 \cdot 2^{1/4} = 4 \cdot \sqrt{2} \] E o argumento se torna: \[ \frac{-\frac{\pi}{4}}{2} = -\frac{\pi}{8} \] Portanto, a raiz quadrada é: \[ 4\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) \right) \] Calculando os valores de \( \cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) \) e \( \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) \): \[ \cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, \quad \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \] Assim, a raiz quadrada de \( 16 - 16i \) resulta em duas soluções: \[ \pm (4 + 4i) \] Portanto, a alternativa correta é: d) ± (4 + 4i).