Se a e b são arcos do 2° quadrante tais que sena = √2/2 e cosb = −1/2, então sen(a + b) é a) √2(−√3+√2)/4 b) −√2(1+√3)/4 c) √3(√2+1)/4 d) 3(3−√2)/4

Para resolver a questão, vamos usar a fórmula do seno da soma de ângulos: \[ \sen(a + b) = \sen a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sen b \] Dado que \( \sen a = \frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( \cos b = -\frac{1}{2} \), precisamos encontrar \( \cos a \) e \( \sen b \). 1. Encontrando \( \cos a \): Como \( a \) está no 2° quadrante, sabemos que \( \cos a \) será negativo. Usando a relação \( \sen^2 a + \cos^2 a = 1 \): \[ \cos^2 a = 1 - \sen^2 a = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Portanto, \( \cos a = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) (negativo no 2° quadrante). 2. Encontrando \( \sen b \): Como \( b \) está no 2° quadrante, \( \sen b \) será positivo. Usando a relação \( \sen^2 b + \cos^2 b = 1 \): \[ \sen^2 b = 1 - \cos^2 b = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Portanto, \( \sen b = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (positivo no 2° quadrante). 3. Substituindo na fórmula: Agora podemos calcular \( \sen(a + b) \): \[ \sen(a + b) = \sen a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sen b \] \[ \sen(a + b) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} \] \[ = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \] Agora, precisamos verificar qual das alternativas se aproxima dessa expressão. Nenhuma das alternativas parece corresponder diretamente, mas podemos simplificar a expressão: \[ -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{4} \] Portanto, a alternativa correta é: b) −√2(1+√3)/4.