A inequação sen(x/2) ≥ 1/2, onde 0 ≤ x ≤ 2π, é verdadeira se, e somente se, a) π/6 ≤ x ≤ 2π b) π/3 ≤ x ≤ 5π/3 c) π/6 ≤ x ≤ 5π/6 d) π/6 ≤ x ≤ π/3

Para resolver a inequação \( \sen\left(\frac{x}{2}\right) \geq \frac{1}{2} \), precisamos encontrar os valores de \( x \) que satisfazem essa condição no intervalo \( 0 \leq x \leq 2\pi \). 1. Primeiro, sabemos que \( \sen(\theta) = \frac{1}{2} \) ocorre em \( \theta = \frac{\pi}{6} \) e \( \theta = \frac{5\pi}{6} \) no intervalo de \( 0 \) a \( \pi \). 2. Como estamos lidando com \( \sen\left(\frac{x}{2}\right) \), precisamos considerar \( \frac{x}{2} \) e, portanto, multiplicamos os limites do intervalo por 2: \( 0 \leq \frac{x}{2} \leq 2\pi \) implica \( 0 \leq x \leq 4\pi \). 3. Assim, as soluções para \( \frac{x}{2} \) são \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \) e \( \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} \), resultando em \( x = \frac{\pi}{3} \) e \( x = \frac{5\pi}{3} \). 4. A função seno é maior ou igual a \( \frac{1}{2} \) entre \( \frac{\pi}{6} \) e \( \frac{5\pi}{6} \) e se repete a cada \( 2\pi \). Portanto, a inequação \( \sen\left(\frac{x}{2}\right) \geq \frac{1}{2} \) é verdadeira para: - \( \frac{x}{2} \) no intervalo \( \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right] \), o que se traduz em \( \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right] \) para \( x \). Assim, a alternativa correta é: b) \( \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{5\pi}{3} \).