Para resolver essa questão, precisamos usar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio \( P(x) \) por um polinômio \( Q(x) \) é igual a \( P(r) \), onde \( r \) é uma raiz de \( Q(x) \). Primeiro, vamos encontrar as raízes do polinômio \( Q(x) = x^2 + x + 2 \). Para isso, calculamos o discriminante: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \] Como o discriminante é negativo, \( Q(x) \) não tem raízes reais. Portanto, não podemos usar o Teorema do Resto diretamente com raízes reais. No entanto, sabemos que o resto da divisão \( P(x) \) por \( Q(x) \) é um polinômio de grau menor que \( Q(x) \), ou seja, é da forma \( R(x) = Ax + B \). Como o resto é igual a 4, podemos escrever: \[ R(x) = 4 \] Assim, podemos igualar \( P(x) \) a \( Q(x) \cdot D(x) + R(x) \) e, para \( P(x) = x^3 + ax + b \), temos: \[ x^3 + ax + b = (x^2 + x + 2)D(x) + 4 \] Para encontrar \( a + b \), podemos substituir um valor de \( x \) que simplifique a equação. Vamos usar \( x = 0 \): \[ P(0) = 0^3 + a(0) + b = b \] \[ Q(0) = 0^2 + 0 + 2 = 2 \] Assim, o resto da divisão é: \[ b = 4 \] Agora, substituindo \( b = 4 \) na equação \( P(x) \): \[ P(x) = x^3 + ax + 4 \] Para encontrar \( a \), podemos usar outro valor de \( x \). Vamos usar \( x = -1 \): \[ P(-1) = (-1)^3 + a(-1) + 4 = -1 - a + 4 = 3 - a \] \[ Q(-1) = (-1)^2 + (-1) + 2 = 1 - 1 + 2 = 2 \] Assim, o resto da divisão é: \[ 3 - a = 4 \implies -a = 1 \implies a = -1 \] Agora, temos \( a = -1 \) e \( b = 4 \). Portanto: \[ a + b = -1 + 4 = 3 \] Assim, a resposta correta é: C) 3.