Para resolver essa questão, precisamos usar o fato de que \(x^2 - x - 1\) é um fator do polinômio \(mx^3 + nx^2 + 1\). Primeiro, vamos encontrar as raízes do polinômio \(x^2 - x - 1 = 0\) usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] As raízes são \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) e \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\). Como \(x^2 - x - 1\) é um fator de \(mx^3 + nx^2 + 1\), isso significa que \(mx^3 + nx^2 + 1\) deve ser igual a zero para essas raízes. Vamos substituir \(x_1\) e \(x_2\) no polinômio: 1. Para \(x_1\): \[ m\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^3 + n\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 + 1 = 0 \] 2. Para \(x_2\): \[ m\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^3 + n\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^2 + 1 = 0 \] Essas duas equações podem ser resolvidas para encontrar \(m\) e \(n\). No entanto, uma abordagem mais simples é notar que, se \(x^2 - x - 1\) é um fator, o polinômio pode ser escrito como: \[ mx^3 + nx^2 + 1 = (x^2 - x - 1)(Ax + B) \] Expandindo isso, obtemos: \[ Ax^3 + (B - A)x^2 + (-B - A)x - B \] Comparando os coeficientes com \(mx^3 + nx^2 + 1\), temos: - \(A = m\) - \(B - A = n\) - \(-B - A = 0\) (ou seja, \(B + A = 0\)) - \(-B = 1\) (ou seja, \(B = -1\)) Da última equação, temos \(B = -1\) e, substituindo na equação \(B + A = 0\), obtemos \(A = 1\). Portanto, \(m = 1\) e \(n = B + A = -1 + 1 = 0\). Assim, \(n + m = 0 + 1 = 1\). Portanto, a resposta correta é: D) 1.