09. (UFOP-MG) O resto da divisão do polinômio p(x)= x99 – 2x + 3 pelo polinômio q(x) = x2 – 1 é: A) –x + 3 B) 6 C) 8 D) 3x – 1

Para encontrar o resto da divisão do polinômio \( p(x) = x^{99} - 2x + 3 \) pelo polinômio \( q(x) = x^2 - 1 \), podemos usar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio \( p(x) \) por um polinômio de grau \( n \) é um polinômio de grau menor que \( n \). Neste caso, \( q(x) \) é um polinômio de grau 2, então o resto será um polinômio de grau menor que 2, ou seja, da forma \( ax + b \). Para encontrar o resto, podemos usar a substituição dos valores que anulam \( q(x) \). Os zeros de \( q(x) = x^2 - 1 \) são \( x = 1 \) e \( x = -1 \). Calculamos \( p(1) \) e \( p(-1) \): 1. \( p(1) = 1^{99} - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \) 2. \( p(-1) = (-1)^{99} - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \) Agora, sabemos que o resto da divisão pode ser expresso como \( R(x) = ax + b \). Usando os valores que encontramos: - Para \( x = 1 \): \( R(1) = a(1) + b = 2 \) (1) - Para \( x = -1 \): \( R(-1) = a(-1) + b = 4 \) (2) Agora, temos um sistema de duas equações: 1. \( a + b = 2 \) 2. \( -a + b = 4 \) Resolvendo esse sistema: Subtraindo a equação (1) da (2): \[ (-a + b) - (a + b) = 4 - 2 \] \[ -2a = 2 \implies a = -1 \] Substituindo \( a \) na equação (1): \[ -1 + b = 2 \implies b = 3 \] Portanto, o resto da divisão é: \[ R(x) = -x + 3 \] Assim, a alternativa correta é: A) –x + 3.