11. (Mackenzie-SP–2016) Na equação (x3 – x2 + x – 1)20 = 0, a multiplicidade da raiz x = 1 é: A) 1. B) 18. C) 9. D) 20. E) 40.

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Para determinar a multiplicidade da raiz \( x = 1 \) na equação \( (x^3 - x^2 + x - 1)^{20} = 0 \), precisamos primeiro encontrar a multiplicidade da raiz \( x = 1 \) na expressão \( x^3 - x^2 + x - 1 \). Vamos substituir \( x = 1 \) na expressão: \[ 1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 \] Portanto, \( x = 1 \) é uma raiz. Agora, precisamos calcular a derivada da função \( f(x) = x^3 - x^2 + x - 1 \) e verificar se a raiz é simples ou se tem multiplicidade maior. Calculando a derivada: \[ f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 \] Substituindo \( x = 1 \): \[ f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2 \] Como \( f'(1) \neq 0 \), isso indica que a raiz \( x = 1 \) é simples, ou seja, tem multiplicidade 1. Como a equação original é elevada à potência 20, a multiplicidade total da raiz \( x = 1 \) na equação \( (x^3 - x^2 + x - 1)^{20} = 0 \) será: \[ 1 \times 20 = 20 \] Portanto, a multiplicidade da raiz \( x = 1 \) é: D) 20.

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01. (UECE–2019) Considerando o polinômio P(x) = 4x3 + 8x2 + x + 1, é correto afirmar que o valor da soma P(−1) + P(−1/3) é um número localizado entre:

A) 5,0 e 5,5.
B) 4,0 e 4,5.
C) 4,5 e 5,0.
D) 5,5 e 6,0.

02. (UEG–2016) Na divisão do polinômio 6x4 –2x3 – 8x2 + 10x – 2 pelo divisor x2 + 3x – 2, o resto multiplicado por 2 é:

A) –222x2 + 252
B) 444x2 + 252
C) –444x2 + 252
D) 222x + 252
E) –444x2 – 252

03. (UERN–2015) Divisor: x2 + x; Resto: 1 – 7x; e Quociente: 8x2 – 8x + 12. Logo, o dividendo dessa operação é:

A) 8x4 + 4x2 + 5x + 1
B) 6x4 + 4x2 + 4x + 3
C) 8x4 + 4x2 + 4x + 1
D) 6x4 + 8x2 + 5x + 1

04. (UPF-RS–2015) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é:

A) –3.
B) –1.
C) 0.
D) 2.
E) 3.

05. (PUC RS–2017) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em £, nessa ordem, estão com seus graus em progressão geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número de raízes de f(x) é:

A) 24.
B) 16.
C) 12.
D) 8.
E) 4.

06. (UFMG) Sejam p(x) = ax2 + (a – 15)x + 1 e q(x) = 2x2 – 3x + 1 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é correto afirmar que o valor de a + b é:

A) 3.
B) 6.
C) 9.
D) 12.

07. (UECE–2015) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c, em que a, b e c são números reais, então o valor de a – b + c é:

A) 9.
B) 10.
C) 12.
D) 13.

08. (UFJF-MG–2017) Qual é o polinômio que, ao ser multiplicado por g(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 4, tem como resultado o polinômio h(x) = 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 –17x2 + 4x?

A) x3 + x2 + x
B) x3 + x2 – x
C) x3 + 3x2 + x
D) x3 + 3x2 + 2x
E) x3 + 3x2 – x

01. (PUCPR–2015) Se (x – 2) é um fator do polinômio x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a:

A) –3.
B) 2.
C) 3.
D) 6.
E) –6.

02. (UDESC) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 por g(x)= 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a:

A) –7/3.
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04. (UPF-RS–2015) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é:

A) –3.
B) –1.
C) 0.
D) 2.
E) 3.

05. (PUC RS–2017) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em £, nessa ordem, estão com seus graus em progressão geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número de raízes de f(x) é:

A) 24.
B) 16.
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06. (UFMG) Sejam p(x) = ax2 + (a – 15)x + 1 e q(x) = 2x2 – 3x + 1 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é correto afirmar que o valor de a + b é:

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A) x3 + x2 + x
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04. (UPF-RS–2015) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é:A) –3.B) –1.C) 0.D) 2.E) 3.

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07. (UECE–2015) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c, em que a, b e c são números reais, então o valor de a – b + c é:A) 9.B) 10.C) 12.D) 13.

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A) 8x4 + 4x2 + 5x + 1
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C) 8x4 + 4x2 + 4x + 1
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A) –3.
B) –1.
C) 0.
D) 2.
E) 3.

05. (PUC RS–2017) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em £, nessa ordem, estão com seus graus em progressão geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número de raízes de f(x) é:

A) 24.
B) 16.
C) 12.
D) 8.
E) 4.

06. (UFMG) Sejam p(x) = ax2 + (a – 15)x + 1 e q(x) = 2x2 – 3x + 1 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é correto afirmar que o valor de a + b é:

A) 3.
B) 6.
C) 9.
D) 12.

07. (UECE–2015) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c, em que a, b e c são números reais, então o valor de a – b + c é:

A) 9.
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D) 13.

08. (UFJF-MG–2017) Qual é o polinômio que, ao ser multiplicado por g(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 4, tem como resultado o polinômio h(x) = 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 –17x2 + 4x?

A) x3 + x2 + x
B) x3 + x2 – x
C) x3 + 3x2 + x
D) x3 + 3x2 + 2x
E) x3 + 3x2 – x

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C) 3.
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02. (UDESC) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 por g(x)= 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a:

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E) 5/3.