Dados: ABC, B̂ = 60, Ĉ = 45 e AB = 3√2. O valor do lado AC mede: a)3√3 b)2√3 c)3√5 d)5√3 e)3√2

Para resolver essa questão, vamos usar a Lei dos Senos, que afirma que a razão entre o comprimento de um lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto é constante. Temos os seguintes dados: - Ângulo B = 60° - Ângulo C = 45° - Lado AB = 3√2 Primeiro, precisamos encontrar o ângulo A: A = 180° - B - C = 180° - 60° - 45° = 75° Agora, aplicamos a Lei dos Senos: \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin A} \] Substituindo os valores: \[ \frac{AC}{\sin 60°} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 75°} \] Sabemos que: - \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) Substituindo na equação: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Multiplicando ambos os lados por \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{3}}{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Após simplificações, encontramos que o valor de AC é igual a \(3\sqrt{3}\). Portanto, a alternativa correta é: a) 3√3.