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Questão 62: Dada a função f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}, determine o limite \lim_{x \to \infty} f(x) e analise o comportamento assintótico da função.
A) 0
B) 1
C) -1
D) Não existe

Questões para Estudantes

há 2 anos

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Para determinar o limite \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) da função \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}\), vamos analisar o comportamento da função quando \(x\) tende ao infinito. 1. Dividir todos os termos pelo maior grau de \(x\), que neste caso é \(x^2\): \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} \] 2. Calcular o limite: Quando \(x\) tende ao infinito, \(\frac{4}{x^2}\) tende a 0. Portanto, temos: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1 \] Assim, o limite \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) é 1. Portanto, a alternativa correta é: B) 1.

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Questão 63: Seja g(x) = \tan^{-1}(x). Determine a derivada g'(x) e analise seu comportamento em relação ao crescimento da função.
A) \frac{1}{1+x^2}
B) \frac{x}{1+x^2}
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Questão 64: Dada a função h(x) = e^{-x^2}, determine a derivada h'(x) e analise seu comportamento em relação ao crescimento da função.
A) -2xe^{-x^2}
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A) 0
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Questão 66: Dada a função m(x) = \frac{\sin(x)}{x}, determine o limite \lim_{x \to 0} m(x) e analise o comportamento da função nesse ponto.
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Questão 67: Seja n(x) = x^3 - 3x + 2. Determine os pontos críticos e classifique-os como máximos ou mínimos locais.
A) Máximo em x = 1, mínimo em x = -1
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Questão 68: Dada a função o(x) = e^{2x} \cos(x), determine a derivada o'(x) utilizando a regra do produto e analise seu comportamento.
A) 2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x)
B) e^{2x} (2\cos(x) - \sin(x))
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