2BQ5 o futuro

Prévia do material em texto

C) \( e^{3x} (3\cos(2x) - 2\sin(2x)) \) 
D) \( 2e^{3x} \sin(2x) + 3e^{3x} \cos(2x) \) 
Resposta: B) 
Explicação: Aplicando a regra do produto, temos \( z'(x) = e^{3x} \cdot 2\cos(2x) + \sin(2x) 
\cdot 3e^{3x} = e^{3x} (3\sin(2x) + 2\cos(2x)) \). 
 
--- 
 
Questão 62: 
Dada a função \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \), determine o limite \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) 
e analise o comportamento assintótico da função. 
A) 0 
B) 1 
C) -1 
D) Não existe 
Resposta: B) 
Explicação: Ao calcular o limite, temos \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 
\frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \). Isso implica que a função tem uma 
assíntota horizontal em \( y = 1 \). 
 
--- 
 
Questão 63: 
Seja \( g(x) = \tan^{-1}(x) \). Determine a derivada \( g'(x) \) e analise seu comportamento 
em relação ao crescimento da função. 
A) \( \frac{1}{1+x^2} \) 
B) \( \frac{x}{1+x^2} \) 
C) \( \frac{1}{x^2} \) 
D) \( \frac{1}{x} \) 
Resposta: A) 
Explicação: A derivada da função inversa \( g(x) = \tan^{-1}(x) \) é dada por \( g'(x) = 
\frac{1}{1+x^2} \). Como \( g'(x) > 0 \) para todo \( x \), a função é crescente em todo o seu 
domínio. 
 
--- 
 
Questão 64: 
Dada a função \( h(x) = e^{-x^2} \), determine a derivada \( h'(x) \) e analise seu 
comportamento em relação ao crescimento da função. 
A) \( -2xe^{-x^2} \) 
B) \( -e^{-x^2} \) 
C) \( 2xe^{-x^2} \) 
D) \( e^{-x^2} \) 
Resposta: A) 
Explicação: A derivada é dada por \( h'(x) = -2xe^{-x^2} \). Isso indica que a função é 
decrescente para \( x > 0 \) e crescente para \( x 0 \) (mínimo) e \( n''(-1)