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Dada a função w(x) = \tan^{-1}(x), calcule a derivada w'(x) e analise seu comportamento em relação ao crescimento da função.
A) \( \frac{1}{1+x^2} \)
B) \( \frac{x}{1+x^2} \)
C) \( \frac{1}{x^2} \)
D) \( \frac{1}{x} \)
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Para calcular a derivada da função \( w(x) = \tan^{-1}(x) \), utilizamos a regra de derivação da função arco tangente. A derivada de \( \tan^{-1}(x) \) é dada por: \[ w'(x) = \frac{1}{1+x^2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \frac{1}{1+x^2} \) - Esta é a derivada correta da função \( w(x) \). B) \( \frac{x}{1+x^2} \) - Esta não é a derivada correta. C) \( \frac{1}{x^2} \) - Esta também não é a derivada correta. D) \( \frac{1}{x} \) - Esta não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é a) \( \frac{1}{1+x^2} \). Em relação ao comportamento da função, como \( w'(x) > 0 \) para todo \( x \), isso indica que a função \( w(x) = \tan^{-1}(x) \) é crescente em todo o seu domínio.

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Dada a função s(x) = ln(x^2 + 1), calcule a derivada s'(x) e determine os pontos críticos da função.
A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)
D) \( \frac{1}{x} \)

Seja t(x) = \frac{\sin(x)}{x}. Determine o limite \lim_{x \to 0} t(x) e analise o comportamento da função nesse ponto.
A) 0
B) 1
C) Infinito
D) Não existe

Dada a função u(x) = e^{-x^2}, determine a derivada u'(x) e analise seu comportamento em relação ao crescimento da função.
A) \( -2xe^{-x^2} \)
B) \( -e^{-x^2} \)
C) \( 2xe^{-x^2} \)
D) \( e^{-x^2} \)

Seja v(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}. Determine o limite \lim_{x \to \infty} v(x) e analise o comportamento assintótico da função.
A) 0
B) 1
C) -1
D) Não existe

Seja x(x - 1)(x - 2). Determine os zeros da função e analise seu comportamento em relação ao crescimento e decrescimento.
A) Zeros em x = 0, 1, 2
B) Zeros em x = 1, 2
C) Zeros em x = 0, 2
D) Não possui zeros

Dada a função y(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}, determine as assintotas verticais e horizontais da função.
A) Assintota vertical em x = 1, assintota horizontal em y = 1
B) Assintota vertical em x = 1 e x = -1, sem assintota horizontal
C) Sem assintota vertical, assintota horizontal em y = 1
D) Sem assintotas

Seja z(x) = e^{3x} \sin(2x). Determine a derivada z'(x) utilizando a regra do produto e analise seu comportamento.
A) \( 3e^{3x} \sin(2x) + 2e^{3x} \cos(2x) \)
B) \( e^{3x} (3\sin(2x) + 2\cos(2x)) \)

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