Vamos calcular a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) usando a regra da cadeia. 1. A derivada de \( f(x) \) é dada por: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Agora, vamos analisar a monotonicidade da função: 2. A derivada \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) nos diz que: - Para \( x > 0 \), \( f'(x) > 0 \) (a função é crescente). - Para \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \) (a função é decrescente). - Para \( x = 0 \), \( f'(0) = 0 \) (ponto crítico). Portanto, a função é decrescente para \( x < 0 \) e crescente para \( x > 0 \). Analisando as alternativas: A) \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) e é decrescente - Incorreto, pois é crescente para \( x > 0 \). B) \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) e é crescente - Incorreto, pois é decrescente para \( x < 0 \). C) \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) e é decrescente - Incorreto, a derivada não é essa. D) \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) e é crescente - Incorreto, a derivada não é essa. Nenhuma das alternativas está correta. A derivada correta é \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) e a função é decrescente para \( x < 0 \) e crescente para \( x > 0 \).