Para determinar o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) = e^x \sin(x) \), precisamos encontrar a derivada da função e igualá-la a zero para identificar os pontos críticos. 1. Derivada da função: Usando a regra do produto, temos: \[ f'(x) = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) = e^x (\sin(x) + \cos(x)) \] 2. Igualando a derivada a zero: \[ e^x (\sin(x) + \cos(x)) = 0 \] Como \( e^x \) nunca é zero, precisamos resolver: \[ \sin(x) + \cos(x) = 0 \] Isso implica que: \[ \sin(x) = -\cos(x) \] Ou seja, \( \tan(x) = -1 \), o que ocorre em \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \). 3. Analisando os pontos críticos: Para determinar a natureza do ponto crítico, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da função em torno dos pontos críticos. 4. Verificando as alternativas: - A) \( x = 0 \) é um máximo: \( f(0) = 0 \). - B) \( x = \frac{\pi}{2} \) é um máximo: \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\frac{\pi}{2}} \). - C) Não possui máximos: Não é verdade, pois a função tem pontos críticos. - D) \( x = 1 \) é um máximo: \( f(1) = e \sin(1) \), que não é um máximo global. Após essa análise, a alternativa que se destaca é a B) \( x = \frac{\pi}{2} \) é um máximo, pois é um ponto onde a função atinge um valor significativo e a derivada muda de sinal. Portanto, a resposta correta é: B) \( x = \frac{\pi}{2} \) é um máximo.