Para determinar o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) = x^2 e^{-x} \), precisamos encontrar a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Derivada da função: Usando a regra do produto, temos: \[ f'(x) = (2x e^{-x}) + (x^2 \cdot -e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) \] 2. Igualando a derivada a zero: \[ e^{-x}(2x - x^2) = 0 \] Como \( e^{-x} \) nunca é zero, precisamos resolver: \[ 2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \] Portanto, \( x = 0 \) ou \( x = 2 \). 3. Análise da natureza dos pontos críticos: Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar a segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada em torno dos pontos críticos. - Para \( x = 0 \): - \( f'(x) \) muda de positivo para negativo, indicando que é um máximo. - Para \( x = 2 \): - \( f'(x) \) muda de negativo para positivo, indicando que é um mínimo. Assim, o valor de \( x \) que maximiza a função é \( x = 0 \), e a natureza do ponto crítico é que \( x = 0 \) é um máximo. Portanto, a alternativa correta é: A) x = 0 é um máximo.