Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas sobre o número \( N \) e como calcular o número de divisores. 1. Fatores de \( N \): O número \( N \) é dado pela expressão \( 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z \). 2. Condições: - \( N \) é múltiplo de 10, o que significa que deve ter pelo menos um fator de 2 e um fator de 5. Portanto, \( x \geq 1 \) e \( y \geq 1 \). - \( N \) não é múltiplo de 7, o que implica que \( z = 0 \). 3. Substituindo \( z \): Com \( z = 0 \), a expressão de \( N \) se torna \( N = 2^x \cdot 5^y \). 4. Cálculo do número de divisores: O número total de divisores de um número \( N = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \) é dado por \( (e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1) \). Portanto, para \( N = 2^x \cdot 5^y \), o número total de divisores é \( (x + 1)(y + 1) \). 5. Divisores diferentes de \( N \): Para encontrar o número de divisores diferentes de \( N \), subtraímos 1 do total de divisores, pois estamos excluindo \( N \) em si. Assim, o número de divisores diferentes de \( N \) é \( (x + 1)(y + 1) - 1 \). Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( x \cdot y \cdot z \) - Não é correta, pois \( z = 0 \) e o produto será zero. B) \( (x + 1)(y + 1) \) - Esta é a contagem total de divisores, mas não exclui \( N \). C) \( x \cdot y \cdot z - 1 \) - Não é correta, pois \( z = 0 \). D) \( (x + 1)(y + 1) \cdot z \) - Não é correta, pois \( z = 0 \). Portanto, a alternativa correta que representa o número de divisores diferentes de \( N \) é a que não está listada, mas a correta seria \( (x + 1)(y + 1) - 1 \). Como essa opção não está entre as alternativas, parece que houve um erro nas opções apresentadas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!