Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre os pontos P, Q e R: I. ( ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k. Para que os pontos sejam distintos, suas coordenadas devem ser diferentes. Vamos verificar: - P(10k, 10, 0) - Q(10k - 1, 20k, 20) - R(10, 30, -10) Para k = 1, temos: - P(10, 10, 0) - Q(9, 20, 20) - R(10, 30, -10) Os pontos são distintos. Para outros valores de k, como k = 0, k = 2, etc., os pontos também se manterão distintos. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). II. ( ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo. Para que três pontos definam um triângulo, eles não podem ser colineares. Como os pontos são distintos e não estão alinhados (especialmente considerando a variação em k), essa afirmativa é verdadeira (V). III. ( ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P. Para verificar se o triângulo é retângulo, precisamos calcular os vetores e verificar se o produto escalar entre dois deles é zero. Com k = 1: - P(10, 10, 0) - Q(9, 20, 20) - R(10, 30, -10) Os vetores são: - PQ = Q - P = (-1, 10, 20) - PR = R - P = (0, 20, -10) Calculando o produto escalar: PQ · PR = (-1)(0) + (10)(20) + (20)(-10) = 0 + 200 - 200 = 0. Como o produto escalar é zero, o triângulo é retângulo no vértice P. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). IV. ( ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a. A área de um triângulo pode ser calculada usando a fórmula da metade do produto da base pela altura ou usando a fórmula de determinante. Para k = 1, a área não é 500 u.a. (é necessário calcular para verificar). Essa afirmativa é falsa (F). Portanto, a sequência correta é: V - V - V - F. A alternativa correta é: d) V - V - V - F.