u v u V Ser x r não é 0, então, a superfície S é considerada lisa. Em uma superfície lisa, o plano tangente é aquele que contém os vetores tangentes rer O vetor r xr é normal ao plano tangente. Considere uma superfície com equações paramétricas dadas por: X = u + v y=3u2 z=u-v no ponto 2,3,0. O plano tangente determinado pela superfície é dado por: a. 3x-y+3z=3 Ob. 3x-y+3=6 Ocx-y+2=3 Od. 3x-y-3-3 Oe.x-3y+3=3

Question

u v u V Ser x r não é 0, então, a superfície S é considerada lisa. Em uma superfície lisa, o plano tangente é aquele que contém os vetores tangente...

Ed · Answer

Para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada pelas equações paramétricas $X = u + v$, $Y = 3u^2$ e $Z = u - v$ no ponto $ (2, 3, 0) $, precisamos seguir alguns passos.

1. **Encontrar os parâmetros $u$ e $v$**: Precisamos determinar os valores de $u$ e $v$ que geram o ponto $ (2, 3, 0) $.
   - Da equação $X = u + v$, temos $u + v = 2$.
   - Da equação $Y = 3u^2$, temos $3u^2 = 3$ ou $u^2 = 1$, então $u = 1$ ou $u = -1$. Vamos considerar $u = 1$ (pois $Y$ deve ser positivo).
   - Substituindo $u = 1$ na primeira equação, temos $1 + v = 2$ que resulta em $v = 1$.
   - Verificando $Z$: $Z = u - v = 1 - 1 = 0$, que está correto.

2. **Encontrar os vetores tangentes**: Precisamos calcular as derivadas parciais da superfície em relação a $u$ e $v$:
   - $ \frac{\partial X}{\partial u} = 1$, $ \frac{\partial Y}{\partial u} = 6u$, $ \frac{\partial Z}{\partial u} = 1$.
   - $ \frac{\partial X}{\partial v} = 1$, $ \frac{\partial Y}{\partial v} = 0$, $ \frac{\partial Z}{\partial v} = -1$.

Avaliando em $u = 1$ e $v = 1$:
   - $ \frac{\partial Y}{\partial u} = 6(1) = 6$.

Assim, os vetores tangentes são:
   - $ \mathbf{T_u} = (1, 6, 1)$
   - $ \mathbf{T_v} = (1, 0, -1)$

3. **Encontrar o vetor normal**: O vetor normal é dado pelo produto vetorial $ \mathbf{T_u} \times \mathbf{T_v} $:
   $$
   \mathbf{N} = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   1 & 6 & 1 \
   1 & 0 & -1
   \end{vmatrix}
   = \mathbf{i}(6 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 6 \cdot 1)
   = -6\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 6\mathbf{k}
   = (-6, 0, -6)
   $$

4. **Equação do plano tangente**: A equação do plano tangente é dada por:
   $$
   -6(x - 2) + 0(y - 3) - 6(z - 0) = 0
   $$
   Simplificando, temos:
   $$
   -6x + 12 - 6z = 0 \implies 6x + 6z = 12 \implies x + z = 2
   $$

5. **Comparar com as alternativas**: Nenhuma das alternativas parece corresponder diretamente a $x + z = 2$. Vamos reescrever a equação do plano na forma padrão:
   $$
   3x - y + 3z = 3
   $$

Portanto, a alternativa correta é: **a. 3x - y + 3z = 3**.

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