Como resolver essa EDO : ydx + (2xy - e^(-2y)) dy = 0 Muito obrigada!

y + ( 2xy - e⁻²ʸ ).y' = 0 

y dx + ( 2xy - e⁻²ʸ ) dy = 0 

Segue o mesmo processo da questão anterior, obviamente com algumas alterações, já que temos que usar um fator integrante dependendo apenas de "y", temos: 

M( x , y ) = y e N( x , y ) = 2xy - e⁻²ʸ 

.∂M 
▬▬ = 1 
.∂y 

e 

∂N 
▬ = 2y 
∂x 

( ∂M/∂y ) ≠ ( ∂N/∂x ) ( trata-se de uma EDO não-exata ) 

Então; 

( 1/M ).[ ( ∂M/∂y ) - ( ∂N/∂x ) ] = h( y ) ; μ = e⁻ᶴʰ⁽ʸ⁾ᵈʸ 

1 
▬ .( 1 - 2y ) = h( y ) 
y 


h( y ) = ( 1/y ) - 2 

Temos; 

μ = e⁻ᶴ⁽ ⁽ ¹ˡʸ ⁾⁻ ² ⁾ᵈʸ ⇒ μ = eᶴ⁽² ⁻ ⁽ ¹ˡʸ ⁾ ⁾ᵈʸ = e²ʸ ⁻ ᴸᶰ⁽ ʸ ⁾ 

μ = e²ʸ .e⁻ ᴸᶰ⁽ ʸ ⁾ = e²ʸ .e ᴸᶰ⁽ ʸ⁻¹⁾ = e²ʸ.( y⁻¹ ) 

μ = ( e²ʸ )/y ( fator integrante ) 


Multiplicando a equação original por ( e²ʸ )/y , vem; 

( y.e²ʸ/y ) dx + [ ( 2xy.e²ʸ/y ) - ( e⁻²ʸ.e²ʸ/y ) ] dy = 0 

e²ʸ dx + [ 2x.e²ʸ - ( 1/y ) ] dy = 0 

Daí; 

M( x , y ) = e²ʸ e N( x , y ) = 2x.e²ʸ - ( 1/y ) 

.∂M 
▬▬ = 2.e²ʸ 
.∂y 
e 

∂N 
▬ = 2.e²ʸ 
∂x 

Como ( ∂M/∂y ) = ( ∂N/∂x ) , logo a nova EDO é exata. 

Temos que; 

∃ h( x , y ) = C 

∂h 
▬ = N( x , y ) 
∂y 


Por outro lado; 

..∂h 
∫▬▬ = ∫M( x , y ) dx ⇒ h( x , y ) = ∫e²ʸ dx ⇒ 
..∂x 

h( x , y ) = x.e²ʸ + K( y ) 

Então; 

∂h 
▬ = N( x , y ) 
∂y 


2x.e²ʸ + K'( y ) = 2x.e²ʸ - ( 1/y ) 

K'( y ) = - ( 1/y ) ⇒ ∫K'( y ) = - ∫( 1/y ) dy ⇒ K( x ) = - ln | y | 

Portanto; 

h( x , y ) = x.e²ʸ - ln | y | . 

LEMBRETE  Y= UX  => dy = ( udx + xdu )

2x*(ux)*(udx+xdu) = (x²+3*(ux)² ) dx => 2u²x²dx+2ux³du = x²dx+3u²x²dx

os termos parecidos você corta quando passa para o outro lado.

x³2udu = (1+u²)xdx  =>  2udu/(1+u²) = x²dx/x³

integral.2udu/(1+u²) = integral  dx/x

ln(1+u²) = lnx+c =>  e^ln(1+u²) = x    

Com propriedade de log.    lembrete   u = y/x e x = y/x

x = K*(1+U²) => y/x = k * (y/x)²  = >  y= x*(1+ y²/x)*k