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Geometria

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Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C).
O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
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581044185-APOSTILA-3-0-48
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Respostas

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Para determinar o diâmetro da perfuração circular que não permita que as outras peças caibam, precisamos analisar as dimensões das perfurações já existentes: 1. Perfuração quadrada (Q): lado de 4 cm. O círculo não pode ter um diâmetro maior que 4 cm para não caber na perfuração quadrada. Portanto, o diâmetro deve ser menor que 4 cm. 2. Perfuração retangular (R): base de 3 cm e altura de 4 cm. O círculo não pode ter um diâmetro maior que 3 cm para não caber na perfuração retangular. Portanto, o diâmetro deve ser menor que 3 cm. 3. Perfuração triangular (T): triângulo equilátero de lado 6,8 cm. O círculo não pode ter um diâmetro maior que a altura do triângulo, que é dada por \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6,8 \approx 5,9 \) cm. Portanto, o diâmetro deve ser menor que 5,9 cm. Agora, vamos analisar as opções de diâmetro disponíveis: - (I) 3,8 cm: Não serve, pois é maior que 3 cm. - (II) 4,7 cm: Não serve, pois é maior que 4 cm. - (III) 5,6 cm: Não serve, pois é maior que 5,9 cm. - (IV) 7,2 cm: Serve, pois é maior que todas as outras perfurações. - (V) 9,4 cm: Serve, pois é maior que todas as outras perfurações. Portanto, as opções que atendem às condições são IV e V. No entanto, como a pergunta pede a alternativa que contém todos os itens verdadeiros, a única alternativa que se encaixa é a que contém o maior diâmetro que não se encaixa nas outras perfurações. A alternativa correta é: D) IV.

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Dois atletas partem de pontos, respectivamente P1 e P2, em duas pistas planas distintas, conforme a figura, deslocando-se no sentido anti-horário até a linha de chegada, percorrendo, desta forma, a mesma distância (L). Os trechos retos dos finais das curvas até a linha de chegada desse percurso têm o mesmo comprimento (l) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos, que são semicírculos de centro C. O raio do semicírculo maior é R1 e o raio do semicírculo menor é R2.
Sabe-se que o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano, subentendido pelo arco. Nas condições apresentadas, a razão da medida do ângulo P2CP1 pela diferença L− I é dada por
A) ????2 − ????1
B) 1/????1 − 1/????2
C) 1/????2 − 1/????1
D) 1/????2−????1
E) 1/????1 + 1/????2

Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é
A) ???? = ????/√????
B) ???? = ????/√2????
C) ???? = ????2/2????
D) ???? = √(2????/????)
E) ???? = 2√(????/????)

O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm. Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm.
O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa. Considere 1,7 como aproximação para √3. O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a
A) 18
B) 26
C) 30
D) 35
E) 60

Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura. O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em
A) 8π.
B) 12π.
C) 16π.
D) 32π.
E) 64π.

O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um número natural. O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m. O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente. Considere 3,0 como aproximação para π.
O maior valor possível para R, em metros, deverá ser
A) 16
B) 28
C) 29
D) 31
E) 49

Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para √2. O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de
A) 1 260.
B) 2 520.
C) 2 800.
D) 3 600.
E) 4 000.

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