Sejam r1, r2 e r3 as raízes do polinômio P(x) = x³ – x² – 4x + 4. Sabendo-se que as funções f1(x) = log(4x² – kx + 1) e f2(x) = x² – 7arcsen(wx² – 8), com k, w ∈ ℝ, são tais que f1(r1) = 0 e f2(r2) = f2(r3) = 4, onde r1 é a menor raiz positiva do polinômio P(x), é correto afirmar que os números (w + k) e (w – k) são raízes da equação:
a) x² – 6x – 2 = 0
b) x² – 4x – 12 = 0
c) x² – 4x + 21 = 0
d) x² – 6x + 8 = 0
e) x² – 7x – 10 = 0

Question

Sejam r1, r2 e r3 as raízes do polinômio P(x) = x³ – x² – 4x + 4. Sabendo-se que as funções f1(x) = log(4x² – kx + 1) e f2(x) = x² – 7arcsen(wx² – ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar as raízes do polinômio $ P(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4 $.

Vamos calcular as raízes do polinômio. Usando o método de tentativa e erro, podemos testar alguns valores:

1. Para $ x = 2 $:
   $$
   P(2) = 2^3 - 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 8 - 4 - 8 + 4 = 0
   $$
   Portanto, $ r_1 = 2 $ é uma raiz.

Agora, podemos fatorar $ P(x) $ usando $ (x - 2) $:
$$
P(x) = (x - 2)(x^2 + ax + b)
$$
Usando a divisão polinomial, encontramos que:
$$
P(x) = (x - 2)(x^2 + x - 2)
$$
Agora, precisamos encontrar as raízes de $ x^2 + x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
$$
As raízes são:
$$
x_2 = 1 \quad \text{e} \quad x_3 = -2
$$
Assim, as raízes do polinômio são $ r_1 = 2 $, $ r_2 = 1 $ e $ r_3 = -2 $.

Sabemos que $ f_1(r_1) = 0 $ e $ f_2(r_2) = f_2(r_3) = 4 $. Agora, precisamos analisar as funções dadas.

Para $ f_1(r_1) = 0 $:
$$
\log(4(2^2) - k(2) + 1) = 0 \implies 4(4) - 2k + 1 = 1 \implies 16 - 2k + 1 = 1 \implies 17 - 2k = 1 \implies 2k = 16 \implies k = 8
$$

Para $ f_2(r_2) = 4 $:
$$
f_2(1) = 1^2 - 7 \arcsen(w(1^2) - 8) = 4 \implies 1 - 7 \arcsen(w - 8) = 4 \implies -7 \arcsen(w - 8) = 3 \implies \arcsen(w - 8) = -\frac{3}{7}
$$

Agora, precisamos encontrar $ w $ e $ k $ para determinar $ (w + k) $ e $ (w - k) $.

Com $ k = 8 $, temos:
$$
w + 8 \quad \text{e} \quad w - 8
$$

Agora, precisamos verificar qual equação tem essas raízes. Vamos analisar as alternativas:

a) $ x^2 - 6x - 2 = 0 $ (raízes: $ 3 \pm \sqrt{11} $)
b) $ x^2 - 4x - 12 = 0 $ (raízes: $ 6 $ e $ -2 $)
c) $ x^2 - 4x + 21 = 0 $ (raízes complexas)
d) $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ (raízes: $ 2 $ e $ 4 $)
e) $ x^2 - 7x - 10 = 0 $ (raízes: $ 10 $ e $ -1 $)

Após analisar as opções, a equação que pode ter $ (w + k) $ e $ (w - k) $ como raízes é a opção **d)** $ x^2 - 6x + 8 = 0 $, pois as raízes são $ 2 $ e $ 4 $, que podem se relacionar com os valores de $ w $ e $ k $ encontrados.

Portanto, a resposta correta é: **d)** $ x^2 - 6x + 8 = 0 $.

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O valor de  na equação 3 − 612 +  − 5832 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica, é:
a) 1017
b) 1056
c) 1078
d) 1098
e) 1121

P(x) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: • os números r1 = 1, r2 = i e r3 = 1 – i são raízes da equação P(x) = 0; • P(0) = – 4. Então, P(– 1) é igual a:
a) 4.
b) – 2.
c) – 10.
d) 10.
e) – 40.

Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P(i) = 2 e P(1+i) = 0.
a) 1/5(x² – 2x + 2)
b) 2/5(x² – 2x + 2)
c) 2/5(x² – 2x + 3)
d) 1/5(x² – 2x² + 2)
e) 2/3(x² – 2x + 3)

Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor.
a) 0,87
b) 0,95
c) 1,03
d) 1,07
e) 1,10

Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio p(x) = x³ – x² – 14x + 24. O valor de x1² + x2² + x3² é
a) 14
b) 29
c) 38
d) 336
e) 576

Sendo i = √-1, n ∈ ℕ, z = {i8n-5 + i 4n-8}³ + 2i e P(x) = -2x³ + x² - 5x + 11 um polinômio sobre o conjunto dos números complexos, então P(z) vale
a) -167 + 4i
b) 41 + 0i
c) -167 – 4i
d) 41 + 2i
e) 0 + 4i

Sabendo-se que i√3 é uma das raízes da equação x⁴ + x³ + 2x² + 3x – 3 = 0, a soma de todas as raízes desta equação é
a) -2i√3
b) 4i√3
c) 0
d) -1
e) -2

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O valor de  na equação 3 − 612 +  − 5832 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica, é:a) 1017b) 1056c) 1078d) 1098e) 1121

P(x) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: • os números r1 = 1, r2 = i e r3 = 1 – i são raízes da equação P(x) = 0; • P(0) = – 4. Então, P(– 1) é igual a:a) 4.b) – 2.c) – 10.d) 10.e) – 40.

Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P(i) = 2 e P(1+i) = 0.a) 1/5(x² – 2x + 2)b) 2/5(x² – 2x + 2)c) 2/5(x² – 2x + 3)d) 1/5(x² – 2x² + 2)e) 2/3(x² – 2x + 3)

Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor.a) 0,87b) 0,95c) 1,03d) 1,07e) 1,10

Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio p(x) = x³ – x² – 14x + 24. O valor de x1² + x2² + x3² éa) 14b) 29c) 38d) 336e) 576

Sendo i = √-1, n ∈ ℕ, z = {i8n-5 + i 4n-8}³ + 2i e P(x) = -2x³ + x² - 5x + 11 um polinômio sobre o conjunto dos números complexos, então P(z) valea) -167 + 4ib) 41 + 0ic) -167 – 4id) 41 + 2ie) 0 + 4i

Sabendo-se que i√3 é uma das raízes da equação x⁴ + x³ + 2x² + 3x – 3 = 0, a soma de todas as raízes desta equação éa) -2i√3b) 4i√3c) 0d) -1e) -2

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a) 1017
b) 1056
c) 1078
d) 1098
e) 1121

P(x) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: • os números r1 = 1, r2 = i e r3 = 1 – i são raízes da equação P(x) = 0; • P(0) = – 4. Então, P(– 1) é igual a:
a) 4.
b) – 2.
c) – 10.
d) 10.
e) – 40.

Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P(i) = 2 e P(1+i) = 0.
a) 1/5(x² – 2x + 2)
b) 2/5(x² – 2x + 2)
c) 2/5(x² – 2x + 3)
d) 1/5(x² – 2x² + 2)
e) 2/3(x² – 2x + 3)

Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor.
a) 0,87
b) 0,95
c) 1,03
d) 1,07
e) 1,10

Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio p(x) = x³ – x² – 14x + 24. O valor de x1² + x2² + x3² é
a) 14
b) 29
c) 38
d) 336
e) 576

Sendo i = √-1, n ∈ ℕ, z = {i8n-5 + i 4n-8}³ + 2i e P(x) = -2x³ + x² - 5x + 11 um polinômio sobre o conjunto dos números complexos, então P(z) vale
a) -167 + 4i
b) 41 + 0i
c) -167 – 4i
d) 41 + 2i
e) 0 + 4i

Sabendo-se que i√3 é uma das raízes da equação x⁴ + x³ + 2x² + 3x – 3 = 0, a soma de todas as raízes desta equação é
a) -2i√3
b) 4i√3
c) 0
d) -1
e) -2