Vamos analisar a questão passo a passo. A curva dada é \( r = 2 + 2\cos\theta \), que é uma equação polar. A simetria ao eixo polar permite que calculemos a área da região acima do eixo polar e multipliquemos por 2. A área \( A \) da região é dada pela fórmula: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \] Neste caso, temos: \[ A = 2 \left( \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2 + 2\cos\theta)^2 \, d\theta \right) \] Calculando \( (2 + 2\cos\theta)^2 \): \[ (2 + 2\cos\theta)^2 = 4 + 8\cos\theta + 4\cos^2\theta \] Substituindo \( \cos^2\theta \) pela identidade \( \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \): \[ 4\cos^2\theta = 4 \cdot \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} = 2 + 2\cos(2\theta) \] Portanto, temos: \[ (2 + 2\cos\theta)^2 = 4 + 8\cos\theta + 2 + 2\cos(2\theta) = 6 + 8\cos\theta + 2\cos(2\theta) \] Agora, a integral se torna: \[ A = 2 \left( \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (6 + 8\cos\theta + 2\cos(2\theta)) \, d\theta \right) \] Calculando a integral: \[ \int_{0}^{\pi} 6 \, d\theta = 6\pi \] \[ \int_{0}^{\pi} 8\cos\theta \, d\theta = 8\sin\theta \bigg|_{0}^{\pi} = 0 \] \[ \int_{0}^{\pi} 2\cos(2\theta) \, d\theta = \sin(2\theta) \bigg|_{0}^{\pi} = 0 \] Portanto, a área total é: \[ A = 2 \left( \frac{1}{2} (6\pi + 0 + 0) \right) = 6\pi \] Assim, a resposta correta é: E) \( 6\pi \, u.a. \)