Para resolver a integral de linha \(\int_C (yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz)\) com as equações paramétricas dadas: \[ \begin{cases} x = t \\ y = t^2 \\ z = t^3 \end{cases} \] Primeiro, precisamos calcular \(dx\), \(dy\) e \(dz\) em termos de \(dt\): - \(dx = dt\) - \(dy = 2t \, dt\) - \(dz = 3t^2 \, dt\) Agora, substituímos \(x\), \(y\), \(z\), \(dx\), \(dy\) e \(dz\) na integral: \[ \int_C (yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz) = \int (t^2 \cdot t^3 \, dt + t \cdot t^3 \cdot 2t \, dt + t \cdot t^2 \cdot 3t^2 \, dt) \] Simplificando cada termo: 1. \(yz \, dx = t^2 \cdot t^3 \, dt = t^5 \, dt\) 2. \(xz \, dy = t \cdot t^3 \cdot 2t \, dt = 2t^5 \, dt\) 3. \(xy \, dz = t \cdot t^2 \cdot 3t^2 \, dt = 3t^5 \, dt\) Agora, somamos os termos: \[ \int (t^5 + 2t^5 + 3t^5) \, dt = \int 6t^5 \, dt \] Agora, precisamos determinar os limites de integração. Se não foram fornecidos, vamos assumir que \(t\) varia de 0 a 1 (um intervalo comum para integrais de linha). Calculando a integral: \[ \int_0^1 6t^5 \, dt = 6 \left[ \frac{t^6}{6} \right]_0^1 = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1 \] Portanto, o valor da integral é 1. A alternativa correta é: C 1.