Para calcular a transformada de Laplace de \( e^{2t} f'(t) \), podemos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona a multiplicação por uma exponencial e a derivada de uma função. A fórmula relevante é: \[ L\{e^{at} f(t)\}(s) = L\{f(t)\}(s - a) \] Neste caso, temos \( a = 2 \) e \( f(t) \) é a função cuja transformada de Laplace é dada como \( L\{f(t)\}(s) = \arctan(s) \). Portanto, aplicando a propriedade: \[ L\{e^{2t} f'(t)\}(s) = L\{f'(t)\}(s - 2) \] Sabemos que a transformada de Laplace da derivada de uma função é dada por: \[ L\{f'(t)\}(s) = sL\{f(t)\}(s) - f(0) \] Substituindo \( L\{f(t)\}(s) = \arctan(s) \) e \( f(0) = 1 \): \[ L\{f'(t)\}(s) = s \cdot \arctan(s) - 1 \] Agora, substituindo isso na expressão da transformada de Laplace que encontramos anteriormente: \[ L\{e^{2t} f'(t)\}(s) = (s - 2) \cdot \arctan(s - 2) - 1 \] Portanto, a resposta correta é: \[ L\{e^{2t} f'(t)\}(s) = (s - 2) \cdot \arctan(s - 2) - 1 \]