quero resolver essa derivada parcial f(x,y)= xsen(yz) + ysen(xz)

Olá Amanda, boa tarde.

Considerando que deseja-se obter apenas as derivadas parciais de primeira ordem, toma-se as diferenciais em relação ao x e em seguida em relação ao y. Lembrando que ao derivar parcialmente as expressões que não constituem elementos da variável considerada na diferenciação comportam-se como constantes.

Dessa forma, 

Uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a a derivada de suas variáveis.

\(\[\begin{align} & Temos: \\ & f(x,y,z)=x\cdot \operatorname{s}\text{e}n(yz)+y\cdot \operatorname{s}\text{e}n(xz) \\ & Solucionando: \\ & 1{}^\text{a}etapa: \\ & \frac{\partial ~f(x,y,z)}{\partial ~x}=\operatorname{s}\text{e}n(yz)+yz\cdot \cos (xz) \\ & 2{}^\text{a}etapa: \\ & \frac{\partial ~f(x,y,z)}{\partial ~y}=xz\cdot \cos (yz)+\operatorname{s}\text{e}n(xz) \\ & 3{}^\text{a}etapa: \\ & \frac{\partial ~f(x,y,z)}{\partial ~z}=xy\cdot \cos (yz)+xy\cdot \cos (xz) \\ \end{align}\] \)

Espere, se for z = f(x,y), então z não se comporta como constante, sendo portanto dado implicitamente.

Se for z = f(x,y), então 

∂f/∂x= sen(yz) + x∂f/∂xcos(yz) + yzcos(xz) + xy∂f/∂x 

∂f/∂x = [sen(yz) + yzcos(xz)]/=xcos(yz) - xy