Como determinar os intervalos onde f(x) é crescente, decrescente, extremos relativos e intervalos onde é concava ou convexa?

Determina-se se f(x) é crescente ou decrescente através do estudo do sinal e propriedades da primeira derivada de f(x), isto é f'(x).

Para estabelecer intervalos de concavidade e convexidade, estuda-se o sinal da segunda derifada de f, isto é f''(x).

Assim sendo,

Do estudo de sinal de f'(x), f'(x)= 4x(x²-1) conclui-se que f(x) é:

- decrescente para x ∈ (-∞ , -1)

- crescente para x ∈ (-1 , 0)

- decrescente para x ∈ (0 , 1)

- decrescente para x ∈ (1 , +∞)

f''(x)= 4(3x²-1)

Os extremos relativos são obtidos ao impor f'(x)=0

Desta operação encontra-se que são extremos o conjunto {-1,0,1}

Do estudo de sinal efetuado acima afirma-se que (-1) é um mínimo relativo, (0) é um máximo relatívo e (1) é um mínimo relativo.

Do estudo de sinal de f''(x) observa-se que f(x) é,

- côncava para x ∈ (-∞ , -√3/3)

- convexa para x ∈ (√3/3 , +∞)

Se a resolução ajudou, recomende a resposta e também meus arquivos :D

Basta ver a derivada de tal função, quando sua derivada é >0 num intervalo, ela é crescente, quando sua derivada é <0, a função é decrescente 

f(x) = x^4 -2x^2 

f´(x) = 4x^3 -4x > 0 , x(4x^2 - 4) >0 em [-1,0] e [1, infinito+[  . E é <0 em ]infinito-,-1] e [0,1], logo, a f(x)= x^4 -2x^2 é crescente em x em [-1,0] e em [1,infinito+[. E é decrescente em ]infinito-,-1] e em [0,1]

Ver pontos de concavidade deve se saber sua derivada segunda

f´´(x) = 12x^2 - 4 , 12x^2-4>0 em ]infinito-, -1/raiz(3)] e em [1/raiz(3),infinito+[ . E é <0 en [-1/raiz(3),1/raiz(3)]

Ela é concava pra cima quando f´´(x)>0 e concava pra baixo quando f´´(x)<0 

Espero ter ajudado