Para encontrar a área delimitada pelas curvas \(2y = x\) e \(y = x\), vamos primeiro encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. 1. Encontrar os pontos de interseção: - A primeira curva é \(y = \frac{x}{2}\). - A segunda curva é \(y = x\). Igualando as duas expressões: \[ \frac{x}{2} = x \] Resolvendo, temos: \[ x - \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = 0 \implies x = 0 \] Agora, substituindo \(x = 0\) em uma das equações para encontrar \(y\): \[ y = 0 \] Portanto, um ponto de interseção é \((0, 0)\). Agora, vamos encontrar outro ponto de interseção. Para isso, vamos igualar as duas equações novamente, mas agora vamos considerar \(y = x\) e \(2y = x\): \[ 2y = y \implies 2y = 2y \implies y = 0 \] Para encontrar outro ponto, podemos considerar \(x = 2\): \[ y = 1 \quad \text{(substituindo em } y = x \text{)} \] Assim, o segundo ponto de interseção é \((2, 2)\). 2. Calcular a área entre as curvas: A área \(A\) entre as curvas de \(x = 0\) a \(x = 2\) é dada por: \[ A = \int_{0}^{2} (y_{\text{superior}} - y_{\text{inferior}}) \, dx \] Onde \(y_{\text{superior}} = x\) e \(y_{\text{inferior}} = \frac{x}{2}\). Portanto, a integral fica: \[ A = \int_{0}^{2} \left(x - \frac{x}{2}\right) \, dx = \int_{0}^{2} \left(\frac{x}{2}\right) \, dx \] Calculando a integral: \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x \, dx = \frac{1}{2} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left[\frac{2^2}{2} - 0\right] = \frac{1}{2} \left[2\right] = 1 \] 3. Verificar as alternativas: A área delimitada pelas curvas é \(1\), mas nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse valor. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na interpretação do problema. Se precisar de mais ajuda ou se houver mais informações, sinta-se à vontade para perguntar!