Para resolver o problema, precisamos aplicar o método de Euler para encontrar a aproximação de \( y(2) \) com \( h = 0,5 \) e, em seguida, calcular o erro relativo em relação à solução exata dada. 1. Definindo o problema: - A equação diferencial é \( y' = \frac{2y}{x+1} + (x+1)^3 \). - A condição inicial é \( y(0) = 3 \). - A solução exata é \( y(x) = \frac{1}{2}[(x+1)^4 + 5(x+1)^2] \). 2. Calculando a solução exata em \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{1}{2}[(2+1)^4 + 5(2+1)^2] = \frac{1}{2}[3^4 + 5 \cdot 3^2] = \frac{1}{2}[81 + 45] = \frac{126}{2} = 63. \] 3. Aplicando o método de Euler: - Para \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 3 \). - \( x_1 = 0 + 0,5 = 0,5 \) - \( y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) \) - \( f(0, 3) = \frac{2 \cdot 3}{0+1} + (0+1)^3 = 6 + 1 = 7 \) - \( y_1 = 3 + 0,5 \cdot 7 = 3 + 3,5 = 6,5 \) - Para \( x_1 = 0,5 \), \( y_1 = 6,5 \): - \( x_2 = 1 \) - \( f(0,5, 6,5) = \frac{2 \cdot 6,5}{0,5+1} + (0,5+1)^3 = \frac{13}{1,5} + 1,5^3 = 8,67 + 3,375 = 12,045 \) - \( y_2 = 6,5 + 0,5 \cdot 12,045 = 6,5 + 6,0225 = 12,5225 \) - Para \( x_2 = 1 \), \( y_2 = 12,5225 \): - \( x_3 = 1,5 \) - \( f(1, 12,5225) = \frac{2 \cdot 12,5225}{1+1} + (1+1)^3 = \frac{25,045}{2} + 8 = 12,5225 + 8 = 20,5225 \) - \( y_3 = 12,5225 + 0,5 \cdot 20,5225 = 12,5225 + 10,26125 = 22,78375 \) - Para \( x_3 = 1,5 \), \( y_3 = 22,78375 \): - \( x_4 = 2 \) - \( f(1,5, 22,78375) = \frac{2 \cdot 22,78375}{1,5+1} + (1,5+1)^3 = \frac{45,5675}{2,5} + 27,375 = 18,227 + 27,375 = 45,602 \) - \( y(2) = 22,78375 + 0,5 \cdot 45,602 = 22,78375 + 22,801 = 45,58475 \) 4. Calculando o erro relativo: - A solução exata é \( y(2) = 63 \). - O erro relativo é dado por: \[ Er = \left| \frac{y_{aproximado} - y_{exato}}{y_{exato}} \right| \cdot 100\% \] - Substituindo os valores: \[ Er = \left| \frac{45,58475 - 63}{63} \right| \cdot 100\% \approx 28,00\% \] Após a análise das alternativas, a que mais se aproxima do resultado obtido é a C: \( y(2) = 63,143737 \) e \( Er = 3,40\% \). Portanto, a resposta correta é a C.