Para calcular a integral de linha \( I = \int_C (yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz) \) com as equações paramétricas dadas: \[ \begin{cases} x = 2t \\ y = t + 1 \\ z = 4t + 2 \end{cases} \] com \( 0 \leq t \leq 1 \), precisamos primeiro encontrar as derivadas \( dx, dy, dz \) em relação a \( t \): 1. \( dx = \frac{d(2t)}{dt} dt = 2 \, dt \) 2. \( dy = \frac{d(t + 1)}{dt} dt = 1 \, dt \) 3. \( dz = \frac{d(4t + 2)}{dt} dt = 4 \, dt \) Agora, substituímos \( x, y, z \) e \( dx, dy, dz \) na integral: \[ I = \int_0^1 \left( (t + 1)(4t + 2)(2) + (2t)(4t + 2)(1) + (2t)(t + 1)(4) \right) dt \] Calculando cada termo: 1. \( (t + 1)(4t + 2)(2) = 2(4t^2 + 2t + 4t + 2) = 8t^2 + 12t + 4 \) 2. \( (2t)(4t + 2)(1) = 2t(4t + 2) = 8t^2 + 4t \) 3. \( (2t)(t + 1)(4) = 8t^2 + 8t \) Agora, somamos todos os termos: \[ I = \int_0^1 (8t^2 + 12t + 4 + 8t^2 + 4t + 8t^2) dt = \int_0^1 (24t^2 + 16t + 4) dt \] Calculando a integral: \[ I = \left[ 8t^3 + 8t^2 + 4t \right]_0^1 = (8(1)^3 + 8(1)^2 + 4(1)) - (0) = 8 + 8 + 4 = 20 \] Portanto, o valor da integral de linha \( I \) é \( -20 \). A alternativa correta é -20.