Calculo diferencial e integral II

A derivada do vetor posição em relação ao tempo resulta no vetor velocidade, e a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo resulta no vetor aceleração. Assim, como temos a aceleração. a sua integral nos dá a velocidade.

Assim, ∫12t dt = 6t² + C = V(t), onde C é constante. Como V(1) = 8, podemos assim descobrir o valor de C

V(1) = 6*1^2 + C = 8 => C = 2

V(t) = 6t² + 2 

Agora podemos descobrir a função posição, que é a integral da função velocidade:

∫6t² + 2 dt = 2t³ + 2t + K

Aplicando a condição inicial

S(2) = 15

S(2) = 2*2³ + 2*2 + K = 15 => 16 + 4 + K = 15 => K = -5

Assim, a função que procurávamos é:

S(t) = 2t³ + 2t - 5

Onde está a equação?

Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre integral para determinar a função de posição \(s(t)\) e a função de velocidade \(v(t)\). Para isso, vamos partir da dada função de aceleração do objeto. Essa função está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow a(t)=12t \space \mathrm {m/s^2}\)

Primeiro, para determinar \(v(t)\), é necessário saber que a definição de aceleração é a variação da velocidade no tempo, ou seja:

\(\Longrightarrow a(t)={dv(t) \over dt}\)

Conhecendo a função \(a(t)\), a função \(v(t)\) é:

\(\Longrightarrow dv(t)=a(t)dt\)

\(\Longrightarrow v(t)= \int a(t)dt\)

\(\Longrightarrow v(t)= \int 12t \space dt\)

\(\Longrightarrow v(t)= 12{t^2 \over 2}+v_0\)

\(\Longrightarrow v(t)= 6t^2+v_0\)

Para \(v(t)\) ficar completa, é necessário calcular o valor da velocidade inicial \(v_0\).

É dito no enunciado que, no instante \(t=1 \space \mathrm s\), a velocidade do objeto é \(v(1)=8 \space \mathrm {m/s}\). Portanto, substituindo \(t=1 \space \mathrm s\) na equação de velocidade, o valor da velocidade inicial \(v_0\) é:

\(\Longrightarrow v(1)= 6*1^2+v_0\)

\(\Longrightarrow 8= 6+v_0\)

\(\Longrightarrow v_0=2 \space \mathrm {m/s}\)

Portanto, a função completa da velocidade do objeto é:

\(\Longrightarrow v(t)= 6t^2+2\)

Agora, para determinar \(s(t)\), é necessário saber que a definição de velocidade é a variação da posição no tempo, ou seja:

\(\Longrightarrow v(t)={ds(t) \over dt}\)

Conhecendo a função \(v(t)\), a função \(s(t)\) é:

\(\Longrightarrow ds(t)=v(t)dt\)

\(\Longrightarrow s(t)= \int v(t)dt\)

\(\Longrightarrow s(t)= \int (6t^2+2)dt\)

\(\Longrightarrow s(t)= (6 {t^3 \over 3}+2t)+s_0\)

\(\Longrightarrow s(t)= 2t^3+2t+s_0\)

Para \(s(t)\) ficar completa, é necessário calcular o valor da posição inicial \(s_0\).

É dito no enunciado que, no instante \(t=2 \space \mathrm s\), a posição do objeto é \(s(2)=15 \space \mathrm {m}\). Portanto, substituindo \(t=2 \space \mathrm s\) na equação de posição, o valor da posição inicial \(s_0\) é:

\(\Longrightarrow s(2)= 2*2^3+2*2+s_0\)

\(\Longrightarrow 15= 16+4+s_0\)

\(\Longrightarrow s_0=-5 \space \mathrm m\)

Portanto, a função completa da posição do objeto é:

\(\Longrightarrow s(t)= 2t^3+2t-5\)

Concluindo, a função de posição \(s(t)\) e a função de velocidade \(v(t)\) são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \fbox {$ s(t)= 2t^3+2t-5 $}\)

\(\Longrightarrow \fbox{$ v(t)= 6t^2+2 $}\)