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Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de \(\frac{\pi}{3}\) rad para o ângulo \(\angle ACB\).
Qual foi a largura do rio que ele encontrou?
a) \(9\sqrt{3}\) metros
b) \(3\sqrt{3}\) metros
c) \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) metros
d) \(3\) metros
e) 4,5 metros
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Trigonometria no Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
5 pág.

Trigonometria no Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Respostas

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ano passado

Para resolver essa questão, vamos usar a trigonometria. O tenente formou um triângulo retângulo com os pontos A, B e C, onde: - \(BC = 9\) metros (a distância que ele andou a partir do ponto B). - O ângulo \(\angle ACB = \frac{\pi}{3}\) radianos, que é equivalente a 60 graus. No triângulo retângulo ACB, podemos usar a função tangente para encontrar a largura do rio (que é o lado oposto ao ângulo ACB): \[ \tan(\angle ACB) = \frac{oposto}{adjacente} = \frac{AC}{BC} \] Sabemos que \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\). Portanto, temos: \[ \sqrt{3} = \frac{AC}{9} \] Agora, isolando \(AC\): \[ AC = 9\sqrt{3} \] Assim, a largura do rio que o tenente encontrou é \(9\sqrt{3}\) metros. Portanto, a alternativa correta é: a) \(9\sqrt{3}\) metros.

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Num dos trabalhos escritos no livro Almagest, Ptolomeu utilizou uma tabela "meias-cordas", representado na figura abaixo. Essas "meias-cordas" representam os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na meia-corda como o real segmento em um círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre no livro Almagest de Claudius Ptolomeu (85 – 165), que utilizou um círculo de raio 60.
Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na figura para um ângulo de \(\theta = 45^\circ\) é:
a) \(30\sqrt{2}\).
b) \(15\sqrt{2}\).
c) \(15\sqrt{2}/2\).
d) \(\sqrt{2}/2\).
e) \(\sqrt{2}/4\).

Sobre uma rampa de 3m de comprimento e inclinação de \(30^\circ\) com a horizontal, devem-se construir degraus de altura 30cm.
Quantos degraus devem ser construídos?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

O teleférico mais alto e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo topo está a uma altura de 4 765 metros acima do nível do mar. O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1 577 metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, depois de se deslocar 12,5 km, atinge o topo do Pico Espejo. Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que \(\theta\) seja o ângulo, com vértice na estação de Barinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme a figura.
Nessas condições, o valor aproximado do ângulo \(\theta\) é:
a) \(11^\circ\).
b) \(15^\circ\).
c) \(18^\circ\).
d) \(22^\circ\).
e) \(25^\circ\).

Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de \(60^\circ\), sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm.
A altura do monumento, em metros, é aproximadamente
a) 6,86.
b) 6,10.
c) 5,24.
d) 3,34.

Uma rampa faz um ângulo de \(30^\circ\) com o plano horizontal. Uma pessoa que subiu 20 metros dessa rampa se encontra a altura de ___ do solo.
Qual é a altura?
a) 6 metros.
b) 7 metros.
c) 8 metros.
d) 9 metros.
e) 10 metros.

Uma pessoa está a 80/3 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de \(30^\circ\), como mostra a figura abaixo. Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de distância do solo.
Podemos afirmar que a altura do prédio em metros é:
a) 80,2
b) 81,6
c) 82,0
d) 82,5
e) 83,2

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