Pode haver uma transformação linear sobrejetora U: r3 -> P3(r) ? Porque?

Se P3(r) corresponde a um espaço vetorial de Polinômios de terceira ordem, ent~so a resposta é não, pois a dimensão desse espaço é 4 (ax^3+bx^2+cx+d). E existirão elementos do contradomínio que não irão pertencer a imagem.Sobrejetora significa que, se você tomar qualquer elemento no seu contradomínio, ou seja, em P3(r), possui um elemento correspondente no domínio(R3). Em outras palavras, o seu contradomínio é igual a imagem.
 

Uma aplicação:

\(\[F:U\to V\]\) é Sobrejetora se:

a imagem de F coincide com V

Ou seja:

\(\[\begin{align} & F\left( U \right)=V \\ & se \\ & v\in v; \\ & U\in U; \\ & Tal\text{ }que: \\ & F\left( u \right)=v.\text{ } \\ \end{align}\] \)