Para calcular a integral da função \( f(x) = x^2 + 1 \) no intervalo \([1, 3]\) utilizando a regra dos retângulos ao centro com \( n = 10 \), siga os passos abaixo: 1. Determine a largura dos retângulos: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2 \] 2. Calcule os pontos médios: Os pontos médios \( x_i \) para cada subintervalo são dados por: \[ x_i = a + \left(i - 0,5\right) \Delta x \quad \text{para } i = 1, 2, \ldots, 10 \] Assim, os pontos médios são: - \( x_1 = 1 + 0,5 \times 0,2 = 1,1 \) - \( x_2 = 1 + 1,5 \times 0,2 = 1,3 \) - \( x_3 = 1 + 2,5 \times 0,2 = 1,5 \) - \( x_4 = 1 + 3,5 \times 0,2 = 1,7 \) - \( x_5 = 1 + 4,5 \times 0,2 = 1,9 \) - \( x_6 = 1 + 5,5 \times 0,2 = 2,1 \) - \( x_7 = 1 + 6,5 \times 0,2 = 2,3 \) - \( x_8 = 1 + 7,5 \times 0,2 = 2,5 \) - \( x_9 = 1 + 8,5 \times 0,2 = 2,7 \) - \( x_{10} = 1 + 9,5 \times 0,2 = 2,9 \) 3. Avalie a função nos pontos médios: \[ f(x) = x^2 + 1 \] Calcule \( f(x_i) \) para cada \( x_i \): - \( f(1,1) = 1,1^2 + 1 = 2,21 \) - \( f(1,3) = 1,3^2 + 1 = 2,69 \) - \( f(1,5) = 1,5^2 + 1 = 3,25 \) - \( f(1,7) = 1,7^2 + 1 = 3,89 \) - \( f(1,9) = 1,9^2 + 1 = 4,61 \) - \( f(2,1) = 2,1^2 + 1 = 5,41 \) - \( f(2,3) = 2,3^2 + 1 = 6,29 \) - \( f(2,5) = 2,5^2 + 1 = 7,25 \) - \( f(2,7) = 2,7^2 + 1 = 8,29 \) - \( f(2,9) = 2,9^2 + 1 = 9,41 \) 4. Calcule a soma das áreas dos retângulos: \[ \text{Área} \approx \Delta x \sum_{i=1}^{10} f(x_i) = 0,2 \times (2,21 + 2,69 + 3,25 + 3,89 + 4,61 + 5,41 + 6,29 + 7,25 + 8,29 + 9,41) \] A soma dos valores de \( f(x_i) \) é: \[ 2,21 + 2,69 + 3,25 + 3,89 + 4,61 + 5,41 + 6,29 + 7,25 + 8,29 + 9,41 = 53,10 \] 5. Calcule a integral aproximada: \[ \text{Área} \approx 0,2 \times 53,10 = 10,62 \] Portanto, o valor aproximado da integral de \( f(x) = x^2 + 1 \) no intervalo \([1, 3]\) utilizando retângulos ao centro com \( n = 10 \) é aproximadamente 10,62.